2019-12-10 分组方差：

有 $c$ 组样本，已知每组样本的统计量：第 $i$ 组样本的样本量 $n_i⩾2$、样本均值 $\overline{X_i}={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=1}^{n_i}{X}_{ij}$、样本方差 $S_i^2={\displaystyle \frac{1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n_i}(X_{ij}-\overline{X_i}{)}^2$，将这 $c$ 组样本合并成一个总样本，则总样本对应统计量可用每组样本统计量来计算：

$$\begin{array}{rl}n& =\sum _{i=1}^c{n}_i,\\ \overline{X}& =\frac{\sum _{i=1}^c{n}_i\overline{X_i}}{n},\\ S^2& =\frac{\sum _{i=1}^c[(n_i-1)S_i^2+n_i{\overline{X_i}}^2]-n{\overline{X}}^2}{n-1}\end{array}$$

这里使用了数理统计中的一个常用公式：

$$\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2$$

为方便记忆，可将上述各统计量之间的关系记为下列对称的形式：

$$\begin{array}{rl}n& =\sum _{i=1}^c{n}_i,\\ n\overline{X}& =\sum _{i=1}^c{n}_i\overline{X_i},\\ (n-1)S^2+n{\overline{X}}^2& =\sum _{i=1}^c[(n_i-1)S_i^2+n_i{\overline{X_i}}^2]\end{array}$$