周期函数
周期函数介绍
定义
【周期函数】对于实函数$f(x)$，如果$\exists T\neq0$对$\forall x$有$f(x+T)=f(x)$，则$f(x)$为周期函数，$T$为$f$的一个周期。
【最小正周期】在函数$f$所有大于零的周期中，最小的周期为该函数的最小正周期。常函数虽然是周期函数，但无最小正周期。
基本性质
从周期函数的定义出发，直接可以得到以下两个重要性质：
- 周期函数的定义域，肯定不是有限区间，至少有一侧是无穷的；
- 非常数周期函数的周期，必然都是其最小正周期的整数倍（可以是负整数倍）；
- 如果$T_1\neq0,\;T_2 \neq 0$都是函数$f$的周期，且$\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}$，则函数$f$不存在最小正周期，是一个常数函数；
- 若$f$是一个周期函数，且$T$是它的一个周期，则对$\forall a_1,a_2,t_1,t_2\in \mathbb R$，函数$h(x)=a_1 f(x+t_2)+a_2 f(x+t_2)$依然是一个周期函数，且$T$依然是它的一个周期。
例题
【题目】设$f(x)=\sin(\sqrt{3}x)$，$g(x)=\sin(\sqrt{5}x)$，$h(x)=f(x)+g(x)$，讨论$h(x)$的周期性。
【解析】
假设$h(x)$是周期函数，期周期为$T>0$，则对$\forall x \in \mathbb R$有：
$$ \begin{align} h(x+T)&\equiv h(x)&\text{定义}\\ \notag\\ \sin\left[\sqrt{3}(x+T)\right]+\sin\left[\sqrt{5}(x+T)\right]&\equiv \sin(\sqrt{3}x)+\sin(\sqrt{5}x)&\text{代入}\\ \notag\\ \sin\left[\sqrt{3}(x+T)\right]-\sin(\sqrt{3}x) &\equiv -\left\{ \sin\left[\sqrt{5}(x+T)\right]+\sin(\sqrt{5}x) \right\} & \text{移项}\\ \notag\\ 2\cos\frac{\sqrt{3}(2x+T)}{2}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2} &\equiv -2\cos\frac{\sqrt{5}(2x+T)}{2}\sin\frac{\sqrt{5}T}{2} & \text{和差化积公式} \end{align} $$
对于式(4)，如果$\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2}\neq 0\end{aligned}$，则左侧函数的最小正周期是$\begin{aligned}\frac{\pi}{\sqrt{3}}\end{aligned}$；如果$\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{5}T}{2}\neq 0\end{aligned}$，则右侧函数的最小正周期是$\begin{aligned}\frac{\pi}{\sqrt{5}}\end{aligned}$，显然，只要有一个系数不为零恒等式(4)就不成立。
因此，若要式(4)成立，则必有$\begin{aligned}\sin\frac{\sqrt{3}T}{2}=\sin\frac{\sqrt{5}T}{2}=0\end{aligned}$，所以$\exists k_1,k_2\in\mathbb Z$使得$\begin{aligned}\frac{\sqrt{3}T}{2}=k_1\pi \;\text{且}\;\frac{\sqrt{5}T}{2}=k_2\pi\end{aligned}$，由于$T>0$，将两等式相除得：
$$ \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{k_1}{k_2} $$
显然，式(5)左侧是无理数，右侧是有理数，等式(5)不成立，综上$h(x)$不是周期函数。
一般性结论
【结论】设两个非常数周期函数$f_1,\;f_2$的有相同的定义域$\mathbb D$，它们的最小正周期分别为$T_1,\;T_2$，则有：
- 当$\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}=\frac{n_1}{n_2}\in \mathbb Q\end{aligned}$时，$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$是周期函数（包括常函数），且$T=n_1n_2t$是$f(x)$的一个周期（但$T$一般不是其最小正周期，其中$n_1,\;n_2$是不可约的正整数，$t=T_1/n_1=T_2/n_2\in\mathbb R$，是$T_1\;T_2$的最大公因子）；
- 当$\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}$时，$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$不是周期函数。
【证明】
证明1.
对$\forall x\in \mathbb D$有：
$$ \begin{align} f(x+T)-f(x)&=f_1(x+T)-f_1(x)+f_2(x+T)-f_2(x)\\ &=f_1(x+n_2T_1)-f_1(x)+f_2(x+n_1T_2)-f_2(x)\notag\\ &=0-0\notag\\ &=0\notag \end{align} $$
所以$f$是周期函数，且$T=n_1n_2t=n_2T_1=n_1T_2$是其一个正周期。需要注意的是$T$不一定是其最小正周期，此外$f$也可能是一个常数函数。
证明2.
首先，由于$\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}$，所以$f$必然不是常数函数，下面使用反证法。
假设$f$是一个周期函数，$T$是它的最小正周期，那么对$\forall x\in \mathbb D$有：
$$ \begin{align} f(x+T)&\equiv f(x)\notag\\ &\Updownarrow\notag\\ f_1(x+T)+f_2(x+T)&\equiv f_1(x)+f_2(x)\notag\\ &\Updownarrow\notag\\ f_1(x+T)-f_1(x)&\equiv -\left[f_2(x+T)-f_2(x)\right]\\ \end{align} $$
由性质4，$T_1$是式(7)左侧的一个周期，$T_2$是式(7)右侧的一个周期，而$\begin{aligned}\frac{T_1}{T_2}\notin \mathbb Q\end{aligned}$，由性质3可以推断式(7)为常数，如果该常$C\neq0$，则有$f_1(nT)=f_1(0)+nC,\;n\in \mathbb N^+$，则$f_1$不是周期函数，这于题意矛盾，所以式(7)恒等于0，即由于$T$同时是$f_1$和$f_2$的周期，但$T$不可能即是$T_1$的整数倍又是$T_2$的整数倍，证毕。
