0. 问题介绍

0.1 背景

蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal。问题的名字来自该节目的主持人蒙蒂•霍尔。

详情参见：维基百科

0.2 玩法

0.2.1 原描述方式

背景：参赛者会看见三扇关闭的门，其中一扇门后面有奖品，选中后面有奖品的那扇门就可以赢得该奖品，而另外两扇门后面则没有任何东西。
当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，知道门后情形的节目主持人，会在剩下的两扇门中开启没有任何东西的一扇。主持人此时会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。

问题：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

0.2.2 更明确的描述方式

背景：

• 参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
• 主持人知道每扇门后面有什么。
• 主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。

• 主持人永远都会挑一扇有山羊的门。

  • 如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
  • 如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机（概率均匀分布）在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
• 参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。

问题：转换选择可以增加参赛者的机会吗？

对于上面这种描述方式，如果你有概率统计方面的知识，应该能够比较容易地对此问题做出正确判断。有时候，出题者还会故意隐去主持人所知道的信息，此时问题变得较为复杂，就需要分情况讨论了。

1. 解答

将3扇门扩展到 $n$ 扇门，更具一般性，也容易描述。因此，下面皆以 $n$ 扇门为背景作答。

1.1 情况1：主持人不知道哪扇门后面有奖品，并随机选择一扇门打开

描述：假定有 $n$ 扇门，只有一扇门后面有奖品，并且主持人（Host）不知道奖品在哪扇门后面。
当参赛者（Contestant），随机选择一扇门后，主持人也会在剩下的 $n-1$扇门中随机选择一扇门打开，如果打开的门内无奖品，主持人会给参赛者重新选择的机会。
问题：此时，参赛者有两种方案可选：①保持原选择不变，②在剩下的 $n-2$ 扇门中随机选择一扇门，问哪一种方案中奖的机会更大。

根据题意，容易得到以下结论：
主持人中奖的概率：$\mathbf{P}(H)=\frac{1}{n}$，则主持人未中奖的概率：$\mathbf{P}(\overline{H})=\frac{n-1}{n}$，此处与1.2节不同
参赛者中奖的概率：$\mathbf{P}(C)=\frac{1}{n}$
参赛者中奖时，主持人不中奖的概率：$\mathbf{P}(\overline{H} | \mbox{C})=1$
根据条件概率公式和乘法公式，方案①的中奖的概率为：
$$\mathbf{P}_1=\mathbf{P}(C | \overline{H})=\frac{\mathbf{P}(C \overline{H})}{\mathbf{P}(\overline{H})}=\frac{\mathbf{P}(\overline{H} | C) \mathbf{P}(C)}{\mathbf{P}(\overline{H})}=\frac{1 \cdot \frac{1}{n}}{\frac{n-1}{n}}=\frac{1}{n-1}$$

方案②的中奖的概率很容易计算：
$$\mathbf{P}_2=\frac{\text{方案①不中奖的概率}}{\text{剩余可选门的数量}}=\frac{1-\frac{1}{n-1}}{n-2}=\frac{1}{n-1}$$
可见，两种方案①②中奖的概率是相同的。

验证

(*编程语言：Mathematica*)
(*为了更直接的表达编程思路，程序未做优化*)
n = 100000;(*随机模拟次数*)
k = 3;(*选项数量*)
options = Range[k];(*初始选项*)

sample = Flatten[{
      #,(*正确选项*)
      RandomSample[options](*你的选项，主持人的选项，剩余选项__*)
      }] & /@ RandomInteger[{1, k}, n];(*样本*)

(* ====== 统计 ====== *)
(* -------- 保持原选择不变 -------- *)
Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)&& right == you(*你选择正确*)]]/
  Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)]] // N

(* -------- 在剩余的选项中重新选择 -------- *)
Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)&& 
      right == RandomChoice[Flatten[{rest}]](*你在剩余选项中随机选择，并且选择正确*)]]/
  Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)]] // N

1.2 情况2：主持人知道哪扇门后面有奖品，并选择无奖品的门打开

描述：假定有 $n$ 扇门，只有一扇门后面有奖品，并且主持人（Host）知道奖品在哪扇门后面。
当参赛者（Contestant），随机选择一扇门后，主持人会在剩下的 $n-1$扇门中选择一扇无奖品的门打开，然后给参赛者重新选择的机会。
问题：此时，参赛者有两种方案可选：①保持原选择不变，②在剩下的 $n-2$ 扇门中随机选择一扇门，问哪一种方案中奖的机会更大。

根据题意，容易得到以下结论：
主持人中奖的概率：$\mathbf{P}(H)=0$，则主持人未选中有奖品的门的概率：$\mathbf{P}(\overline{H})=1$，此处与1.1节不同
参赛者中奖的概率：$\mathbf{P}(C)=\frac{1}{n}$
参赛者中奖时，主持人不中奖的概率：$\mathbf{P}(\overline{H} | \mbox{C})=1$
根据条件概率公式和乘法公式，方案①的中奖的概率为：
$$\mathbf{P}_1 = \mathbf{P}(C | \overline{H}) = \frac{\mathbf{P}(C \overline{H})}{\mathbf{P}(\overline{H})} = \frac{\mathbf{P}(\overline{H} | C) \mathbf{P}(C)}{\mathbf{P}(\overline{H})} = \frac{1 \cdot \frac{1}{n}}{1} = \frac{1}{n}$$

方案②的中奖的概率很容易计算：
$$\mathbf{P}_2=\frac{\text{方案①不中奖的概率}}{\text{剩余可选门的数量}}=\frac{1-\frac{1}{n}}{n-2}=\frac{n-1}{n \cdot (n-2)}$$
可见，两种方案①②中奖的概率不同，②更高。

验证

(*编程语言：Mathematica*)
(*为了更直接的表达编程思路，程序未做优化*)
n = 100000;(*随机模拟次数*)
k = 3;(*选项数量*)
options = Range[k];(*初始选项*)

sample = Flatten[{
     #,(*正确选项*)
     your = RandomChoice[options],(*你的选项*)
     host = RandomChoice[Complement[options, {your, #}]],(*主持人的选项*)
     RandomSample[Complement[options, {your, host}]](*剩余选项__*)
     }] & /@ RandomInteger[{1, k}, n];(*样本*)

(* ====== 统计 ====== *)
(* -------- 保持原选择不变 -------- *)
Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)&& right == you(*你选择正确*)]]/
  Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)]] // N

(* -------- 在剩余的选项中重新选择 -------- *)
Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)&& 
      right == RandomChoice[Flatten[{rest}]](*你选择正确*)]]/
  Length[Cases[
    sample, {right_, you_, host_, rest__} /; 
     right != host(*主持人选择错误*)]] // N

2. 总结

• 如果主持人不知道哪扇门后面有奖品，并随机选择一扇门打开，那么参赛是否重新选择，其中奖概率都是$\frac{1}{3}$。
• 如果主持人知道哪扇门后面有奖品，并选择无奖品的门打开，给参赛者重新选择的机会。那么参赛者应该在剩下的门中重新选择，中奖概率由$\frac{1}{3}$上升到$\frac{2}{3}$。

乍看蒙提霍尔问题，很容易作出错误的判断，但通过公式推导或编程模拟很容易发现问题的关键所在——主持人是否知道奖品在哪扇门后面以及其行为是否随机，这直接导致了不同的结果。

3. 程序附件

1. 附件：蒙提霍尔问题[Monty Hall problem].nb