题目

已知数列$\{a_n\}$满足条件 $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$，且 $a_{15}=1$，记 $S_n=\sum_{i=1}^n{a_i}$，求 $S_{26}$。

解法一

将题中数列递推公式移项得到 $a_{k-2}=a_k-a_{k-1}$，取 $k=3,4,\cdots,n+2$，累加可得 $S_n=a_{n+2}-a_2$（本式也是斐波那契数列的基本性质之一），所以有 $S_{26}=a_{28}-a_2=a_{15+13}-a_{15-13}$。

记$F_n$为斐波那契数列，由数学归纳法可以证明：

$$ \begin{align} a_n&=F_{k+1}a_{n-k}+F_ka_{n-k-1}\\ a_n&=(-1)^kF_{k+1}a_{n+k}+(-1)^{k+1}F_ka_{n+k+1} \end{align} $$

取以n为对称心中的下标，将上两式相减，可得：

$$ a_{n+k}-a_{n-k}=\begin{cases} F_k(a_{n-1}+a_{n+1}), & \mbox{if }k\mbox{ is even} \\ \\ (F_{k+1}+F_{k-1})a_n, & \mbox{if }k\mbox{ is odd} \end{cases} $$

下式与本题无关，但作为对称结果，仅在此保留：

$$ {\color{orchid} a_{n+k}+a_{n-k}=\begin{cases} F_k(a_{n-1}+a_{n+1}), & \mbox{if }k\mbox{ is } \boldsymbol{odd} \\ \\ (F_{k+1}+F_{k-1})a_n, & \mbox{if }k\mbox{ is } \boldsymbol{even} \end{cases}} $$

取$n=15,\;k=13$有：

$$ \begin{align} S_{26}&=a_{28}-a_{2}\\ &=a_{15+13}-a_{15-13}\\ &=(F_{14}+F_{12})a_{15}\\ &=521a_{15} \end{align} $$

当$a_{15}=1$时，$S_{26}=521$ █