一、问题

已知一位小偷每次出手都以固定的概率 $p_s$ 得手，并以固定的概率 $p_a$ 被捕，且得手与被捕相互独立，问小偷在被捕前的平均得手次数是多少。

二、计算

2.1 问题重述

将原问题用数学语言重述。

首先，明确随机变量：设随机变量 $X$ 是小偷在被捕前的总得手次数，该随机变量又由“得手”与“被捕”两个随机变量组成：

• 随机变量 $S$ 表示：小偷每次出手是否成功得手，取值范围 $\{0,1\}$，服从(0-1)分布，即 $\mathbb{P}\{S=1\}=p_s$，期望 $\mathbb{E}(S)=p_s$；
• 随机变量 $A$ 表示：小偷被捕前的总出手次数，取值范围 $\{1, 2, 3, \cdots\}$，服从几何分布，即 $\mathbb{P}\{A=k\}=(1-p_a)^{k-1}p_a$，期望 $\mathbb{E}(A)=1/p_a$；

然后，可通过以下三种方法求解。

2.2 方法一：高中概率方法（正解）

本方法中规中矩，仅使用高中阶段的数学知识即可。

$X$ 的分布列为，被捕前出手了 $n$ 次（$n\geqslant1$），其中有 $k$ 次（$k\geqslant0$）得手的概率：

$$ \mathbb{P}\{X=k,A=n\}=\binom{n}{k}p_s^k(1-p_s)^{n-k}\times(1-p_a)^{n-1}p_a,\quad {\color{gray}n\geqslant k,\,n\geqslant1,\,k\geqslant0} $$

根据上面分布列，计算出被捕前的出手次数在1~20次内时，不同得手次数概率分布如下图所示：

所以 $X$ 的期望为：

$$ \begin{aligned} {\color{blue}\mathbb{E}(X)}&=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^n k\times\binom{n}{k}p_s^k(1-p_s)^{n-k}\times(1-p_a)^{n-1}p_a\\ &=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^n k\times\binom{n}{k}p_s^k(1-p_s)^{n-k}\times(1-p_a)^{n-1}p_a\\ &=\sum_{n=1}^\infty(1-p_a)^{n-1}p_a\times n\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{n}\binom{n}{k}p_s^k(1-p_s)^{n-k}\\ &\qquad\qquad {\color{green}\Downarrow \binom{n}{k}=\binom{n}{k-1}\dfrac{n}{k-1} \Downarrow }\\ &=\sum_{n=1}^\infty(1-p_a)^{n-1}p_a\times n \times p_s\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}p_s^{k-1}(1-p_s)^{n-k}\\ &=\sum_{n=1}^\infty(1-p_a)^{n-1}p_a\times n \times p_s\times 1\\ &\qquad\qquad {\color{green}\Downarrow \sum_{n=1}^\infty nx^n=\dfrac{1}{(1-x)^2},\; x\in(0,1) \Downarrow }\\ &={\color{blue}\dfrac{p_s}{p_a}} \end{aligned} $$

因此，小偷在被捕前的平均得手次数为得手概率除以被捕概率。

2.3方法二：利用母函数的性质（正解）

对于本题，$X=\sum_\limits{k=1}^A S_k$，其中 $S_k$ 表示第 $k$ 次出手是否成功得手。因此，使用下面母函数的性质五，直接可以得到 ${\color{blue}\mathbb{E}(X)}=\mathbb{E}(A)\mathbb{E}(S)={\color{blue}\dfrac{p_s}{p_a}}$。

这几条母函数的性质简直就是为本题而生的嘛！

母函数的定义：设 $X$ 是非负整数值随机变量，分布列为 $p_k=\mathbb{P}\{X=k\},k=0,1,2,\cdots$，则称 $G(s):=\mathbb{E}(s^X)=\sum_\limits{k=0}^\infty p_ks^k$ 为 $X$ 的母函数。

母函数的性质：

• 性质一：非负整数值随机变量的分布列由其母函数唯一确定。
• 性质二：设 $G(s)$ 是 $X$ 的母函数，若期望 $\mathbb{E}(X)$ 存在，则 $\mathbb{E}(X)=G'(1)$；若方差 $\mathbb{D}(X)$ 存在，则 $\mathbb{D}(X)=G''(1)+G'(1)-[G'(1)]^2$。
• 性质三：独立随机变量之和的母函数等于母函数之积。
• 性质四：$X_1,X_2,\cdots$ 是相互独立且同分布的非负整数值随机变量，它们的母函数都是 $G(s)$，$N$ 也是非负整数值随机变量，且与 $X_1,X_2,\cdots$ 无关，$N$ 的母函数是 $H(s)$，则 $Y=\sum_\limits{k=1}^N X_k$ 的函数为 $F(s)=H(G(s))$。
• 性质五：结合性质二和性质四有 $\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(N)\times\mathbb{E}(X_1)$。

—— 参考：《随机过程》（第四版）刘次华，P9。

2.4 方法三：利用期望的性质（歪打正着）

错解：由于 $S$ 与 $A$ 相互独立，因此随机变量积的期望等于期望的积，所以 ${\color{blue}\mathbb{E}(X)}=\mathbb{E}(S\times A)=\mathbb{E}(S)\mathbb{E}(A)={\color{blue}\dfrac{p_s}{p_a}}$。

说明：本解法暗含了条件 $X=S\times A$，但这并不合理（例如，当 $A=5$ 时，$X$ 应该有 $0,1,2,3,4,5$ 这 6 种取值，但是本式只有 0 和 5 这 2 种取值，显然是有问题的），正确的等式应该是方法二中提到的 $X=\sum_\limits{k=1}^A S_k$。